Aceleração em um referencial em rotação

06 Nov, 2024

Consideramos dois referenciais:

Referencial Inercial ( $ℐ$ ): Um referencial que não está acelerando, onde as leis de Newton se aplicam em sua forma mais simples.
Referencial Rotativo ( $ℛ$ ): Um referencial que gira com uma velocidade angular $\vec{ω}$ em relação ao referencial inercial.

Para qualquer vetor $\vec{A}$ , a relação entre a derivada temporal nos referenciais inercial e rotativo é dada por:

{(\frac{d \vec{A}}{d t})}_{ℐ} = {(\frac{d \vec{A}}{d t})}_{ℛ} + \vec{ω} \times \vec{A}

onde:

${(\frac{d \vec{A}}{d t})}_{ℐ}$ é a derivada temporal no referencial inercial,
${(\frac{d \vec{A}}{d t})}_{ℛ}$ é a derivada temporal no referencial rotativo,
$\vec{ω}$ é o vetor de velocidade angular do referencial rotativo em relação ao referencial inercial.

Seja $\vec{r}$ o vetor posição da partícula em ambos os referenciais (assumindo que as origens coincidem).

{\vec{v}}_{ℐ} = {(\frac{d \vec{r}}{d t})}_{ℐ}

{\vec{v}}_{ℛ} = {(\frac{d \vec{r}}{d t})}_{ℛ}

Usando a relação das derivadas:

{\vec{v}}_{ℐ} = {\vec{v}}_{ℛ} + \vec{ω} \times \vec{r}

A aceleração no referencial inercial é:

{\vec{a}}_{ℐ} = {(\frac{d {\vec{v}}_{ℐ}}{d t})}_{ℐ}

Para expressar ${\vec{a}}_{ℐ}$ em termos de quantidades no referencial rotativo, diferenciamos ${\vec{v}}_{ℐ}$ em relação ao tempo:

{\vec{a}}_{ℐ} = {(\frac{d}{d t} ({\vec{v}}_{ℛ} + \vec{ω} \times \vec{r}))}_{ℐ}

Aplicando a derivada temporal em ambos os termos:

{\vec{a}}_{ℐ} = {(\frac{d {\vec{v}}_{ℛ}}{d t})}_{ℐ} + {(\frac{d}{d t} (\vec{ω} \times \vec{r}))}_{ℐ}

Primeiro Termo:

{(\frac{d {\vec{v}}_{ℛ}}{d t})}_{ℐ} = {(\frac{d {\vec{v}}_{ℛ}}{d t})}_{ℛ} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℛ}

Segundo Termo:

{(\frac{d}{d t} (\vec{ω} \times \vec{r}))}_{ℐ} = \frac{d \vec{ω}}{d t} \times \vec{r} + \vec{ω} \times {(\frac{d \vec{r}}{d t})}_{ℐ}

Como $\frac{d \vec{r}}{d t} = {\vec{v}}_{ℐ} = {\vec{v}}_{ℛ} + \vec{ω} \times \vec{r}$ :

\vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℐ} = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℛ} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r})

Combinando os termos, obtemos:

{\vec{a}}_{ℐ} = {\vec{a}}_{ℛ} + 2 \vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℛ} + \frac{d \vec{ω}}{d t} \times \vec{r} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r})

Para encontrar a aceleração observada no referencial rotativo, resolvemos para ${\vec{a}}_{ℛ}$ :

{\vec{a}}_{ℛ} = {\vec{a}}_{ℐ} - \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) - 2 \vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℛ} - \frac{d \vec{ω}}{d t} \times \vec{r}

Aceleração Centrífuga ( $- \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r})$ ): Atua para fora a partir do eixo de rotação.
Aceleração de Coriolis ( $- 2 \vec{ω} \times {\vec{v}}_{ℛ}$ ): Depende da velocidade da partícula no referencial rotativo.
Aceleração de Euler ( $- \frac{d \vec{ω}}{d t} \times \vec{r}$ ): Ocorre quando a velocidade angular $\vec{ω}$ está variando com o tempo.